一次関数の応用　距離と時間の関係　水量の増え方の違い

ここでは、一次関数のグラフの応用問題で代表的な「距離と時間の関係」と「水槽に水が溜まる時間」についての問題を練習します。
これらの問題では、いくつかの一次関数のグラフが組み合わさった形で出題されます。
つまり一直線ではなく、折れたグラフが出てきます。
折れた部分で関数が変わる。このことを意識しておきましょう。
なお、ここでは一次関数の式の求め方と変化の割合の求め方を理解していることが前提になります。
忘れている人は以下のページを確認しておきましょう。

一次関数のグラフの応用　距離と時間の関係

練習問題1

図のグラフは、よしお君が家を出てから$900m$離れたペットショップへ行ったときの時間と距離の関係である。
$10$時に家を出発たが、$600m$行ったところで犬がいたので$5$分犬と遊び、ペットショップには$10$時$18$分に到着した。
家を出発してからの時間を$x$、家からの距離を$y$とするとき、次の問いに答えよ。

$(1)\:$家を出てから$10$分間一定の速さで歩いた。よしお君の歩く速さは分速何$m$か。また、このときの$y$を$x$の式で表せ。
$(2)\:$犬と遊ぶ前と後では、どちらのほうが歩く速さが速いといえるか。その理由をグラフの形状から答えよ。
$(3)\:$犬と遊び終わってからペットショップに到着するまで一定の速さで歩いた。このときの道のりと時間の関係について$y$を$x$の式で表せ。

考え方
$(1)\:$座標でいうと$(10,600)$です。$10$分歩いて$600m$移動したことになります。
$(2)\:$ここではグラフの形状から判断するので計算はしません。グラフの傾きに注目します。
$(3)\:$$2$点の座標がわかるので、変化の割合を求めてから式を表します。

解答
$(1)\:600\div10=60$
　これより分速$60m$
　よって$\quad y=60x$

$(2)\:$遊んだ後のほうが速い。グラフの傾きが大きくなるから

$(3)\:10$時$18$分に到着したので$3$分で$300m$移動したことがわかる
　これより求める式を$y=ax+b$とすると
　変化の割合は$\dfrac{300}{3}=100$　
　したがって
$\begin{align}100x+b=&900\\100\times18+b=&900\\1800+b=&900\\b=&-900\end{align}$
よって$\quad y=100x-900$

解説
$(1)\:$速さは道のり$\div$時間を計算すれば即終了。これは小学校で学んだ通り。
ここでは少し深入りして、速さを一次関数で学んだ変化の割合に当てはめて考えてみます。

$変化の割合=\dfrac{yの増加量}{xの増加量}$なので
$\dfrac{600}{10}=60$となり、変化の割合が$60$と求まります。

この変化の割合がまさに速さを表しています。

$(2)\:$「変化の割合」のことを「傾き」ともいいました。この傾きは文字通りグラフの傾きです。
グラフの傾きが大きい（急激に上がる、もしくは下がる）とは、変化の割合の絶対値が大きいということです。
つまり時間と距離の関係を表すグラフでは、グラフの傾きが大きいほど速さが速いといえます。
あくまでもグラフの形状からわかることを答えます。速さが変わった理由までは考えません。
おそらく犬が懐いてきて追いかけてきたから速く歩いたのでしょう。

$(3)\:2$点$(15,600)$と$(18,900)$を通る直線の式を求めます。
これより変化の割合がわかります。そこで
求める式を$y=ax+b$とおいて通る点と変化の割化を代入して計算を進めます。

$(3)\:$の別解として連立方程式を解いても良いでしょう。
$\begin{cases}900=18a+b\\600=15a+b\end{cases}$
$a=100,b=-900\quad$より
$y=100x-900$

一次関数のグラフの応用　水槽に水が溜まる時間

練習問題2

よしお君はペットショップで購入したヨシノボリを飼育するために$60L$の水槽に水を入れた。
空の水槽に水を入れ始めたが、排水口が開いていたことに気づかずにいたため$5$分間そのままにしていた。そこで排水口を閉じて水を入れ続けた結果、水を入れ始めてから$10$分後に満水になった。
図のグラフは、時間$x$と水量$y$の関係を表したものである。

給水口も排水口も、それぞれ常に一定量の水を扱っているものとする。
次の問いに答えよ。
$(1)\:$水を入れ始めてから$5$分間の時間と水量の関係について$y$を$x$の式で表せ。
$(2)\:$排水口を閉じてからの時間と水量の関係について$y$を$x$の式で表せ。
$(3)\:$排水口は$1$分間にどれだけの量の水を捨てていたことになるか。
$(4)\:$水量が$30L$になったのは、水を入れ始めてから何分後か。

考え方
$(1)\:$水を入れると同時に捨てることも考えるから一瞬難しそうに感じますが、実はどうということはない。
単純に$0$～$5$分の水量のグラフを読みとり、式を作るだけです。
$(2)\:$$5$～$10$分の水量のグラフを読みとり、式を作るだけです。
$(3)\:$排水口を閉じる前と後での水の増え方の違いを見抜きましょう。
$(4)\:$$5$～$10$分のどこかで$30L$になっているので、そのときの式に当てはめます。

ちなみにヨシノボリとはハゼの一種です。

解答
$(1)\:$水を入れ始めてから$5$分間は単調に水量が増加していて比例の関係があることがわかる。
　求める式を$y=ax$とすると
　$10=5a\quad$より$a=2$
　よって$\quad y=2x$

$(4)\:$$5$～$10$分のどこかで$30L$になっているので、$\quad(2)$の式から
$\begin{align}\quad y=&10x-40\\30=&10x-40\\10x&=70\\x&=7\end{align}$
　よって$\quad7$分後

解説
$(1)$と$(2)$は$(3)$を求めるためのヒントになっていました。
将来的には何のヒントがなくても$(3)$を自力で解けるようにしておきたいところです。

この問題での変化の割合は、$1$分当たりの水量の変化のこと。
つまり排水口を閉じる前と後での変化の割合の違いを考えることで、どれだけ捨てられていたかがわかります。
$1$分間に$8L$を捨てる。それを$5$分間。
かなり豪快に水をムダにしていました。

なお、水を捨てる量よりも入れる量のほうが多いと図のように右上がりのグラフになります。
逆に捨てるほうが多いと右下がりのグラフ、つまり変化の割合が負の値となります。