文字を使った整数の表し方
$n、m$を整数とする とすると各整数は以下の様に表せます。
3の倍数 $3n$
2の倍数 $2n$
偶数 $2n$
奇数 $2n+1$
連続する2つの整数 $n、(n+1)$
連続する3つの整数 $(n-1)、n、(ｎ+1)$
2つの整数 $n、m$
2つの3の倍数 $3n、3m$
連続する2つの3の倍数 $3n、(3n+3)$
連続する3つの3の倍数 $(3n-3)、3n、(3n+3)$
ここでは文字を使った式での説明の仕方について解説します。
まずは文字を使う意味をおさえておきましょう。
なぜ文字を使うのか
例えば「偶数+1は奇数になる」ことを説明する時に、2+1を示したら3となり確かに奇数になります。
でもこの説明の仕方では、2+1の時だけを説明しているだけなので、他の偶数の時にはどうなのかが説明できていません。
ならば順々に示せば良いだろうとのことで、4+1 6+1 8+1・・・と示していったとします。
こうすると確かに説明できそうな感じはします。
でも、あくまでもその数の時だけを説明しているに過ぎないので、やっぱり全ての偶数の時について説明したことにはなりません。
そこで「どんな偶数の時にも当てはまるぞ」ということを示すために文字を使います。
文字には勝手に適当な値を当てはめて考える
文字には適当な値を自由に決めてしまって構いません。
だから$n$を見た時に「1」を考えても良いし「10」でも良い。負の数でも小数でも分数でも良い。
特に文字に条件がない限り自由に$n$の値を考えてしまって良いのです。
文字に入る数値を自由に考えてしまって良いということだから逆に、文字を使えばどんな数値のときでも説明できたことになる、ということです。
文字に条件をつけることもできる
逆に$n$に勝手に条件をつけて、その条件の中で考えろということもできます。
ただ文字に条件をつける時にはその条件を必ず示すこと。そのため冒頭の例では、$n、m$をそれぞれ整数として考えてほしかったので「$n、m$を整数とする」という様に一言付けたわけです。
「$n$を整数とする」と条件をつけたとき、偶数は2$n$と書きました。
条件をつけたことで$n$には整数ならばどんな値も当てはまります。1でも2でも52でも-78でも自由に考えて良い。
偶数は2の倍数のことですから、2$\times$(整数)ということで2の倍数、つまり偶数を示したことになるわけです。
なお、問題を解いていくうちに自然とわかってきますが、文字に条件をつけないと何かと不都合なことが出てきます。
そのため「自分で勝手に置いた文字にはその文字についての説明を一言付け加える」と考えておきましょう。
連続する整数は同じ文字を使って表す
連続する整数とは、ある整数があったらそれより1大きい整数の並びのことです。
1、2とあれば連続する整数だし20、21も連続する整数。
でも20、25となったら連続していません。
$m$を整数としたら$m$と$m+1$は連続する2つの整数を示したことになります。
同じ文字には同じ数値を当てはめて考えるので、
もし$m$を5と考えた場合、$m+1$は6ということになり、
もし$m$を120と考えたら、$m+1$は121です。
確かに連続する整数が出てきます。
同じ文字には同じ数値が当てはまる
連続する整数は同じ文字を使って表す
違う文字には違う数値が入る
$n、m$を整数とします。
この場合、$n$と$m+1$は連続した整数とは言えません。
違う文字には違う数値を当てはめて考えます。
もし$n$が3だとしたら、$m$は3以外の整数とみなします。
こうすることで連続する整数を表せないことになります。
ここまでのことをふまえ、文字式を使った整数の説明の仕方を見ていきましょう。
連続する2つの整数の和は奇数になる説明
繰り返しますが$n$を整数とすると、偶数は2$n$です。
そして奇数は偶数より1大きいか1小さいので、$2n+1$もしくは$2n-1$と表せます。
この関係を使うと「連続する2つの整数の和は奇数になる」ことが説明できます。
奇数になることを示すには「偶数+1」もしくは「偶数-1」を示せば良い。
つまり「$2n+1$」もしくは「$2n-1$」の形を作れば説明したことになります。
「連続する2つの整数の和は奇数になる」ことを実際に説明すると次のようになります。
$n$を整数とすると連続する2つの整数は
$n、n+1$ とおける
これらの和を求めると
$n+(n+1)$
$＝2n+1$
よって$2n+1$は奇数の形なので、連続する2つの整数の和は奇数になる
連続するという条件があるので、同じ文字を使って$n$、$n+1$として整数を表します。
もし$n$と$m$+1というように、別の文字を使って説明したら連続する整数を表したことになりません。
なぜなら違う文字には違う数値を当てはめて考えるからです。
これと比較するために、今度は「連続する」という条件がない場合について紹介します。
2つの奇数の和は偶数になる説明
「2つの奇数の和は偶数になる」ことを説明すると次のようになります。
偶数になることを示すには、2$\times$(整数)の形を作ります。
$n$、$m$を整数とすると2つの奇数は
$2n+1$、$2m+1$ とおける
これらの和を求めると
$(2n+1)+(2ｍ+1)$
$＝2n+2m+2$
$＝2(n+m+1)$
$(n+m+1)$は整数なので、$2(n+m+1)$は偶数である
よって2つの奇数の和は偶数になる
ここでは単に「2つの奇数」とあるので別々の文字を使います。
もし同じ文字を使ったら$2n+1$と$2n+1$となり、同じ1つの奇数を考えたことになってしまいます。
これでは説明したことになりません。
このように「連続する」という条件がつかない場合は別の文字を使って説明します。
説明問題は慣れるまでに時間がかかりますが、このページで紹介した内容が、文字を使った整数の表し方と整数の説明の基本になります。
今後整数の説明問題で考え方に迷ったときは、このページの内容を思い出してください。