表面積とは、立体を構成するすべての面の面積を合計した値のことをいいます。
ということでいきなり基本例題に入ります。
立方体の表面積を求める
基本例題1
1辺が$5cm$の立方体の表面積を求めよ。
考え方
立方体は全部で$6$つの面でできていますね。
よってそれら$6$つの面積をすべて足したもの（$1$つの面積を$6$倍したもの）が立方体の表面積です。
解答
$5\times5\times6=150\quad (cm^2)$
表面積の問題のあるあるで、底の部分の面積をついうっかり計算し忘れるというのがあります。
基本例題1では最も初歩的な表面積の問題をあげましたが、ぶっちゃけた話、基本例題1程度の問題ならほとんどの人は正答できます。
なぜなら単純な図形だし、立方体は6面ということを知っているから。
でも簡単な図形が集まった立体でも、ほんの少し手を加えただけでたちまち間違えて表面積を求めてしまう人が続出します。
表面積$=$底面積$+$側面積
立体をテーブルに置いたとき、一番下にありテーブルとぴったり重なっている面のことを底面といいます。
また、底面とは逆の位置で、天井を向いている面のことも底面といいます。
つまり立方体、さらにいえば角柱は底面が2つあることになります。
天にあるのに底とは違和感を覚えますが、そんな言い方をするんだぁといった程度で覚えておきましょう。
また、上でもなく下でもなく、立体の周りにある面のことを側面といいます。
よって
表面積$=$底面積$+$側面積
として考えることもできます。
表面積と側面積の違いがよくわからないという声を聞きますが、
立体全体の面積が表面積
立体の周りの面積が側面積
です。
それでは基本的な図形を使ってもう少し表面積を求める練習をしましょう。
基本例題2
次の立体の表面積を求めよ。
$(1)\quad$底面が直角三角形の三角柱
$(2)\quad$底面が正方形で側面はすべて合同な二等辺三角形
$(3)\quad$底面の直径が$8cm$の円の円柱
考え方
$(1)\:$三角柱は面が5つあるのでそれらの面積を足して求めます。
ですが、ここでは展開図を描いてみましょう。少しだけ楽できます。
$(2)\:$底面が正方形で側面はすべて合同な二等辺三角形となっている図形を正四角錐といいます。特殊な図形なのでこれはこれで覚えておきましょう。
$(3)\:$側面積は展開図を描いて考えてみましょう。
それぞれまずは自力でじっくり考えて、一通り答えを出してから次の解答を読みましょう。
解答
$(1)\quad$展開図より1つの長方形と2つの直角三角形の面積を足したものが表面積となる
長方形の面積
$12\times8=96$
直角三角形2つの面積の合計
$4\times3\times\dfrac{1}{2}\times2=12$
よって
$96+12=108\quad(cm^2)$
$(2)\quad$底面の面積と4つの合同な二等辺三角形の面積を足したものが表面積となる
底面の面積
$6\times6=36$
二等辺三角形4つの面積の合計
$6\times10\times\dfrac{1}{2}\times4=60\times2=120$
よって
$36+120=156\quad(cm^2)$
$(3)\quad$展開図より2つの円と1つの長方形の面積を足したものが表面積となる
円2つの面積の合計
$4\times4\times\pi\times2=32\pi$
長方形の面積
長方形の横の長さは円周の長さに等しいので
$8\pi$より
$10\times8\pi=80\pi$
よって
$32\pi+80\pi=112\pi\quad(cm^2)$
解説
立体の表面積の問題では展開図を描くと考えやすくなることが多いです。
必ずしも展開図を描かなければならないわけではないですが、図形に慣れないうちは展開図を描いて考えましょう。
$(1)\:$面としては3つの長方形と2つの三角形に分けられるので、それぞれの面の面積を求めて最後に足す方法もあります。
しかし展開図をみると、3つの長方形は実は1つの大きな長方形とみなすことができます。
長方形1つとして考えたほうが計算が少なく済み、その分ミスする危険も減ります。
$(2)\:$考え方にも書きましたが、底面が正方形で側面はすべて合同な二等辺三角形となっている図形を正四角錐といいます。
二等辺三角形の高さはいくつなのかをしっかり図から見抜きましょう。
ちなみに二等辺三角形の頂角（てっぺんにある角のこと）から底辺に垂直に下した線が三角形の高さです。
頂角から底辺に垂直に下した線は、底辺の2等分します。さらに頂角も2等分しています。
詳しいことは中2で学ぶので、とりあえずへぇ～程度に簡単に覚えておいてください。
$(3)\:$円柱の展開図は2つの円と1つの長方形になります。
そしてこの問題の最大のPOINT。長方形の横の長さは円周の長さと等しくなります。
ここに気づけないとこの問題が解けないので、しっかり押さえておきましょう。
円周の長さ＝円の直径×円周率
でしたね。忘れていた人は思い出しておきましょう。
なお円の面積は
半径×半径×円周率
でした。
展開図の$8cm$はもちろん直径。半径に直すのを忘れずに。
意外とミスしやすいところです。
円柱において
底面の円周の長さと
側面（長方形）の横の長さは
同じ長さとなる
ここまで角柱、円柱、角錐について表面積を求める練習をしました。
このページで扱った例題はすべて基本中の基本なので必ず解けるようにしてください。
ところで、表面積についてもう1つ重要な立体があります。
それが円錐。
円錐の表面積の求め方は少しクセが強いので、円錐の表面積のページとして別に作ります（近日中に公開予定）。
そちらもあわせて学びましょう。