体積とは縦、横、高さの3方向に広がりをもったものの大きさを表しています。
容器の中にどれだけ水が入るかではありません。それは容積です。
もっとも日常においては体積も容積も同じような意味で使われていますが・・・。
このページでは様々な立体の体積の求め方、つまり様々なものの大きさの求め方を確認します。
角柱や円柱の体積の求め方
角柱や円柱の体積
角柱や円柱の底面積を$S$、高さを$h$
とすると
角柱や円柱の体積$V$は
$\quad V=Sh$
で求められる
〇〇柱の体積$\:=\:$底面積$\:\times\:$高さ と覚えておきましょう。
図では四角柱と円柱で例を挙げていますが、三角柱や五角柱、六角柱などどの角柱でも当てはまります。
それではさっそく練習へ。
基本例題1
$(1)\:$底面積が$8cm^2$、高さが$3cm$の三角柱の体積を求めよ。
$(2)\:$半径が$4cm$の円で、高さが$5cm$の円柱の体積を求めよ。
考え方
〇〇柱の体積なので
底面積$\:\times\:$高さ を考えます。
解答
$(1)\:8\times3=24\:(cm^3)$
$(2)\:4\times4\times\pi\times5=80\pi\:(cm^3)$
角錐や円錐の体積の求め方
角錐や円錐の錐（すい）とは、底面から高さ方向の点を考えたとき、その点が1点に集まる立体をいいます。
底面が三角形で錐の形になっていれば三角錐、底面が円で錐の形になっていれば円錐と、底面の形により名称が変わります。
ちなみに錐（すい）とは、先が尖っているという意味があります。
角錐や円錐の体積
角錐や円錐の底面積を$S$、高さを$h$
とすると
角柱や円柱の体積$V$は
$\quad V=\dfrac{1}{3}\times Sh$
で求められる
〇〇錐の体積$\:=\:\dfrac{1}{3}\times\:$底面積$\:\times\:$高さ と覚えておきましょう。
角柱や円柱の体積を$\dfrac{1}{3}\:$倍したものが角錐や円錐の体積になっていますね。
$\dfrac{1}{3}\times\:$とありますが今は気にせず
$\quad V=\dfrac{1}{3}\times Sh\:$を覚えてしまってください。
それではさっそく練習へ。
基本例題2
$(1)\:$底面積が$8cm^2$、高さが$3cm$の三角錐の体積を求めよ。
$(2)\:$半径が$6cm$の円で、高さが$5cm$の円錐の体積を求めよ。
考え方
〇〇錐の体積なので
$\dfrac{1}{3}\times\:$底面積$\:\times\:$高さ を考えます。
解答
$(1)\:\dfrac{1}{3}\times8\times3=8\:(cm^3)$
$(2)\:\dfrac{1}{3}\times6\times6\times\pi\times5=60\pi\:(cm^3)$
ここまで基本例題1、2と進めてきましたが、これらは文字通り基本の問題です。
テストで出題されたら必ず解けるようにしておきたい内容です。
$\dfrac{1}{3}\times$がどこから出てきたのかはひとまず置いておいて、体積の求め方をしっかり覚えておきましょう。
次に、ちょっとクセの強い球の体積の求め方を確認します。
球の体積の求め方
球の体積
球の半径を$r$、円周率を$\pi$とすると
球の体積$V$は
$\quad V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3$
で求められる
$\dfrac{4}{3}\times\:$とありますが、とりあえず今は気にせずに。
テストで$\dfrac{4}{3}\times\:$の理由を聞かれるかもと心配あるかもしれませんが、
$\: V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3$を覚えてしまってください。
それではさっそく練習へ。
基本例題3
$(1)\:$半径が$6cm$の球の体積を求めよ。
考え方
$\dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3\:$に当てはめるだけです。
解答
$\begin{align}(1)&\quad\:\dfrac{4}{3}\times\pi\times6^3\\\\&=\dfrac{4\times6\times6\times6}{3}\pi=288\pi\:(cm^3)\end{align}$
様々な立体の体積の求め方を紹介しましたが、中学レベルでは体積を求める式を覚えて実際に体積を求められれば十分です。
$\dfrac{1}{3}\:$や$\dfrac{4}{3}\:$がなぜ出てくるのかや、
その意味を覚えたり、
まして$\dfrac{1}{3}\:$や$\dfrac{4}{3}\:$の求め方の証明までできる必要はありません。
どうしてもこれらの数値を詳しく知りたい場合は、高校3年生の数学で学んでください。
液体の量を測る
液体は自らの形を容器の形に合わせることができます。
ある容器に液体を入れ、その容器に自らの形を変えて隙間なくピッタリ入った量がその液体の量だと小学校で学んだと思います。
ということは次のような問題もできますよね？
基本例題4
半径$3cm\:$、高さ$5cm\:$の円錐の容器に、液体をいっぱいにあふれるまで入れた。
このときの容器に入っている液体の量を求めよ。
考え方
容器いっぱいに液体を入れた、つまり円錐の体積を求めるのと同じことです。
解答
$\begin{align}&\quad\dfrac{1}{3}\times\pi\times3^2\times5\\\\&=\dfrac{1\times3\times3\times5}{3}\pi=15\pi\quad(cm^3)\end{align}$
基本例題4のように単純に容器の体積を求めるのではなく、容器に入った液体の体積を求める問題もあります。
もっとも解法手順は容器の体積の求め方と同じですが。
ところで、自らの形を容器の形に合わせてピッタリ収まる。これは猫にもできます。
すると猫は液体なのか!? という議論も出てきます。
猫が液体かどうかは私にはわかりませんが、ある容器にピッタリ収まったら、それは猫の体積とも考えられるのではないでしょうか？
問題
半径$10cm\:$の半球状の容器に、猫が容器の形に合わせピッタリ隙間なく収まった。
このとき猫の体積はおよそどれ位だと推測できるか。
考え方
半球の体積、つまり球の体積の$\dfrac{1}{2}\:$を求めます。
解答
$\begin{align}&\dfrac{4}{3}\times\pi\times10^3\times\dfrac{1}{2}\\\\=&\:\dfrac{4\times10\times10\times10}{3\times2}\pi\\\\=&\:\dfrac{4\times100\times5}{3}\pi=\dfrac{2000}{3}\pi\quad(cm^3)\end{align}$