平面が1つに決まる条件①
1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面は1つに決まる
直線上というのは直線より上か下かということではなく、直線の一部分という意味です。
「平面イメージしてください」といわれたら、あなたならどんな平面をイメージしますか？
今見ているPCやスマホの画面に平行な平面
今見ているPCやスマホの画面に垂直な平面
今見ているPCやスマホの左上から右下にかけて広がる平面
などなど、様々な平面を無限に考えることができます。
でもある条件を付けたうえで平面をイメージすると、誰にでも共通した1つの平面に限定することができます。
このページでは平面が1つに決まる条件を解説し、今後の空間図形の学習の基礎を固めていきます。
平面が1つに決まる条件はいくつかあるけど
冒頭のPOINTでは「平面が1つに決まる条件①」というように①をつけました。
ならば他にも条件があるのかというとあります。
平面が1つに決まる条件は教科書や参考書には何種類か記載されていますが、そのすべては上記のPOINTに挙げた
「1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面は1つに決まる」
を基に理屈で考えると、あとは自ずと条件が見えてきます。
なので、まずは「1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面が1つに決まる」をしっかり覚えてください。
ではなぜ「1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面が1つに決まる」のか？
その理由を見ていきます。
1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面が1つに決まる理由
ある平面を描こうとするときには、無意識的に横と縦を考えています。
横と縦の2つの広がりがあることで初めて平面を形作ることができるからです。
一方、直線を引くときは、線の始まりの点を考え、そこからまっすぐ伸びる方向を考えれば引けます。
（厳密には線も横と縦の広がりがあるから存在できるが、無視できるほど小さい）
ということは、平面を考える際は直線が1つある時点で、平面の横を考えたのと同じことになります。
あとはそこに縦に関しての条件をつければ、ひとまず平面ができます。
そこでその直線上（直線の一部分という意味）にない1点を適当に決めます。
すると直線と点との間に距離ができ、結果として縦を考えたことになります。
これで横と縦の広がりを考えた、つまり平面を考えたというわけです。
この直線と点を含む平面はただ1つに限定されます。
ここまでのことをざっくりいってしまえば、「直線が平面の横を表し、点が平面の縦を決める」ということになります。
「1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面は1つに決まる」
まずはこれをイラストと一緒に覚えておきましょう。
参考
ここでもう少し深堀します。
直線を1つ決めたとします。
このとき、直線から見てどの空間に点を取るかによって、できる平面の広がる向き（平面の傾き方）が変わってきます。
画面とは今あなたが見ているスマホやPCの画面のことです。
どんな奥行を考えたとしても結局は、1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面は1つに決まります。
平面の傾き方については、中1レベルの数学では特に覚えなくて大丈夫ですが、参考までに頭の片隅に置いておいてください。
その他の平面が1つに決まる条件
平面が1つに決まる条件は他に3つあります。
なぜその条件が成り立つのかを理解してください。
もし条件を忘れたとしても理屈を理解していれば問題を解く際の助けになります。
平面が1つに決まる条件
同一直線上にない異なる3点があれば平面は1つに決まる
交わる2つの直線があれば平面は1つに決まる
平行な2つの直線があれば平面は1つに決まる
それぞれなぜ成り立つのかを見ていきます。
同一直線上にない異なる3点があれば平面は1つに決まる
同一直線上にない異なる3点を適当に取ります。
このとき点の奥行も、手前だろうが奥だろうが気にせず適当に考えて問題ありません。
ただ、同一直線上にある3点を考えた場合、単に1つの直線を考えただけになってしまうので、平面の決定ができなくなります。
異なる3点のうち2つをまっすぐな線で結びます。
すると「1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面がただ1つに決まる」と同じ状況になり、平面が1つに決定されたということになります。
よって同一直線上にない異なる3点があれば平面は1つに決まるといえるわけです。
ところで、どのような位置関係であろうと、点が2つある時点で直線を引くことができます。
そして直線があると平面の横を考えているということでした。
すると、
点が2つある時点で平面の横を考えている
ということにもなってきます。
参考
本ページの内容からは離れますが、直線について深く理解したい人はこちらのページも読み進めてください。
必ず今後の図形の学習で参考になります。
交わる2つの直線があれば平面は1つに決まる
直線は2点があれば引けると紹介しました。
よって交わる2つの直線のうちの一方を2点に置き換えて考えます。
すると冒頭に紹介した、直線上にない1点の条件ができているのがわかると思います。
そのため、交わる2直線があれば平面は1つに決まるといえるわけです。
でも、ここで疑問を持った人もいると思います。
「同一直線上にない2点になっているじゃねえかよ、はぁ? それじゃ平面が1つどころか2つできるだろうがぁっっ!! あぁ!?」と。
そう、確かに同一直線上にない2点があるから、直線と一方の点とでできる平面と、もう一方の点とでできる平面の2つができ、平面が1つに決まらないように感じます。
でも、2点はもとは直線、つまりこの2点は同じ方向への傾きを表しています。
同じ方向への傾きを示しているということはつまり、同一平面ということになります。
平行な2つの直線があれば平面は1つに決まる
この条件の説明については少々複雑です。
まず空間内に平行な2直線$\:l\:,\:m\:$を引きます。
そして直線$\:l\:$上に異なる2点$A,B\:$を適当に取ります。
さらに直線$m\:$上に点$C$を適当に取ります。
すると、同一直線上にない異なる3点の条件により平面が1つ決まります。その平面をここでは$\alpha$とします。
直線$l\:$は平面$\alpha\:$に含まれ、当然点$A$、点$B\:$も含まれています。
また点$C\:$も平面$\alpha\:$に含まれています。
でもこの時点ではまだ直線$m\:$が平面$\alpha\:$に含まれていると断言できません。
あくまでも、「直線$m\:$の一部である点$C\:$が平面$\alpha\:$に含まれている」ことがわかっているだけです。というのは・・・、
直線$l\:$と直線$m\:$がねじれの位置にある可能性があるためです。
平面$\alpha\:$を上から見たら直線$l\:$と直線$m\:$は平行に見えても、平面$\alpha\:$を真横から見たら斜めに走っていることも考えられます。
したがって、空間においてもねじれの位置の関係になっていないことを示さないと説明がつきません。
ここで直線$l\:$と直線$m\:$がねじれの位置の関係ではないことを示します。
平行な2直線とは、お互い線をどこまで伸ばし続けても交わることのない状態、言い換えれば、お互いの距離が常に一定ということです。
しかしねじれの位置にあると、距離は場所により変わります。
元々直線$l\:$と直線$m\:$は平行に引いたので、空間においても、ねじれの位置にあると矛盾してしまいます。
よって直線$l\:$と直線$m\:$は空間で考えても平行の関係にあります。
ここまでくるとあとは
直線$m\:$がどの位置に存在するのか？
になります。
といっても点$C\:$は直線$m\:$の一部であり、かつ平面$\alpha\:$に含まれるので、直線$m\:$は1つに限定されます。
よって、平行な2つの直線があれば平面は1つに決まる
といえるわけです。
ところで
「1つの直線と、その直線上にない1点があれば平面は1つに決まる」
を基に理屈で考えると、あとは自ずと条件が見えてきます。
と冒頭に書きましたが、このページの説明の都合上そう書きました。
別に間違ったことを書いたわけではありませんが、もう少し正確に書くと
同一直線上にない異なる3点があれば平面は1つに決まる
が本当の基になっています。
おそらく教科書や参考書などでは、平面の決定条件の1つ目に「同一直線上にない異なる3点」が記載されていると思います。
平面が1つに決まる条件の日常での具体例
意外に思うかもしれませんが、4本で支えるより3本で支えた方がグラグラせず安定します。
例えば自撮りするときに使う三脚。
これは異なる3点があることで平面ができ、その平面が地面にぴったり重なることで物理的に安定します。
4本脚だと平面が1つに決まらないため、地面とぴったり重ならずグラつく原因になります。
例えば怒った時にひっくり返すちゃぶ台。
これも同じ理由で3本脚の方が安定します。
4本脚ではお味噌汁がこぼれやすくなります。
3点があれば安定する。
ならば、よしお君、よしこさん、よしひこ君の3点の場合はどうか？
確かに平面は1つに決定されます。
ただ、よしこさんに気があるよしお君にとって、よしひこ君が入ってくるのはまぁちょっと・・・、っていうか、よしひこ何なん？という感じです。
安定というかむしろ、きな臭い感じのする3点でいろんな意味でねじれがあります。
3点があれば安定するとは、あくまでも物理的な意味での安定です。
例えば居酒屋のおやじが焼くときに使ってるあれ。
2つの平行線があることで平面ができ、うなぎや焼き鳥などを安定して置けます。たぶん均等に火が行き渡ると思います。
