式の値とは、文字に数値を代入して得られる計算結果のことです。
要は計算問題のこと。だから決して難しいものではありません。
公立高校入試では、計算問題の次に式の値が出題されることが多いようです。
問題1
$x=3$のとき、$x^2-6x$の式の値を求めよ。
次の式の値を求めよ
式の値の問題は中学1年、2年、3年と必ず勉強しています。
中3レベルでは多少工夫が必要な形での出題になりますが、それでも難問ではありません。出題されたら正答必須です。
冒頭の問題の解答は次のようになります。
解答
$\begin{align}x^2-6x&=3^2-6\times3\\&=9-18=-9\end{align}$
式の値の問題は結局のところ、代入して計算すれば良いだけなので計算ミスさえしなければ正答できます。
続けて練習しましょう。
問題2
$x=2\quad y=-3$のとき、次の式の値を求めよ。
$\begin{align}(1)&\:\;5x+y\quad&(2)&\:\;4x-2y\\(3)&\:\;-3x^2+4y^2\quad&(4)&\:\;5x-2y^2\end{align}$
考え方
文字が2種類あったとしても考え方は同じです。
解答
$\begin{align}(1)\:\;5x+y&=5\times2+(-3)\\&=10-3=7\end{align}$
$\begin{align}(2)\:\;4x-2y&=4\times2-2\times(-3)\\&=8+6=14\end{align}$
$\begin{align}(3)\:\;-3x^2+4y^2&=-3\times2^2+4\times(-3)^2\\&=-12+36=24\end{align}$
$\begin{align}(4)\:\;5x-2y^2&=5\times2-2\times(-3)^2\\&=10-18=-8\end{align}$
式の値の問題とはどのような解き方をすれば良いかは思い出せたでしょう。
次からこのページのメイン。
引き続き練習しましょう。
工夫が必要な式の値の問題
公立高校入試のおいて式の値を求める問題は、3～4問目あたりで出題されることが多いようです。
問題のレベルとしては、そこは入試問題。
問題1、問題2のような単純なものよりかは、少し工夫が必要な問題が出題されます。
なお、工夫とはいっても、複雑な工夫が必要ものはまず出題されません。
問題3
$a=-5$、$b=\dfrac{2}{3}\quad$のとき、$2(a+5b)-7b\quad$の値を求めよ。
考え方
もちろん$a,b$それぞれに数値を代入して計算していけば答えは出ます。
でも式を簡単にできるときは、代入前に一度簡単にしておくと少しラクになります。
解答
$\begin{align}2(a+5b)-7b&=2a+10b-7b\\\\&=2a+3b=2\times(-5)+3\times\dfrac{2}{3}\\\\&=-10+2=-8\end{align}$
問題4
$x=15\:$のとき、$x^2+8x-65$の式の値を求めよ。
考え方
$x=15$を直接代入しても良いですが、2桁の数を2乗するするのは面倒だし、計算ミスのリスクもあります。
そこで2乗しなくても計算できないかを考えてみます。
そこで出てくるのが因数分解。
式の値の問題に限ったことではないですが、2桁の数を2乗するときは、1乗のまま計算できないかどうか、つまり因数分解できないかどうかを一瞬疑ってみましょう。いくらか計算がラクになります。
解答
$\begin{align}x^2+8x-65&=(x+13)(x-5)\\&=(15+13)(15-5)\\&=28\times10=280\end{align}$
補足
問題4では因数分解して、2乗の計算を回避しました。
それによりほんの少しですが、計算がラクになりました。
ただ、因数分解に気づけないときや、あるいは、そもそも因数分解できない式も当然あります。
そのときは地道に計算するしかありません。
因数分解に気づくと計算がラクになる場合がある。その程度で覚えておきましょう。
ということで引き続き次の問題へ。
問題5
$x=87$、$y=13\:$のとき$\:x^2-y^2\:$の式の値を求めよ。
考え方
$87^2$はさすがにやりたくないですよね。
ではどのように式変形するか？
中3の秋の時点では、問題を見た瞬間に式変形に気づけるようにしておきたいです。
解答
$\begin{align}x^2-y^2&=(x+y)(x-y)\\&=(87+13)(87-13)\\&=100\times74=7400\end{align}$
解説
$\:x^2-y^2\:$の形を見たらと因数分解できると即反応できるのが望ましいです。
2乗すると何かと手間がかかりそうな数が出てきたときは、たいてい因数分解できるように問題が作られています。
頭の片隅にちょこっとおいておきましょう。
ちなみに、因数分解に気づけると暗算でも求められることがよくあります。
式の値を求める問題は、整数や分数、小数を代入するものだけではありません。
根号のついた数を代入する問題もあります。
練習していきましょう。
問題6
$x=\sqrt{5}+3\quad y=\sqrt{5}-3\:$のとき、次の式の値を求めよ。
$(1)\:\;xy\quad(2)\:\;x^2+2xy+y^2$
$(3)\:\;x^2+4xy+y^2$
考え方
根号があっても考え方は同じです。
$(1)$、$(2)$は正答必須。メインは$(3)$です。
いきなり代入するのではなく、式変形を考えましょう。
変形に気づけると意外と簡単に答えが出ます。
解答
$\begin{align}(1)\:\;xy&=(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)\\&=5-9=-4\end{align}$
$\begin{align}(2)\:\;x^2+2xy+y^2&=(x+y)^2\\&=(\sqrt{5}+3+\sqrt{5}-3)^2\\&=(2\sqrt{5})^2=20\end{align}$
$\begin{align}(3)\:\;x^2+4xy+y^2&=x^2+2xy+2xy+y^2\\&=(x+y)^2+2xy\\&=20+2\times(-4)\\&=20-8=12\end{align}$
解説
初めて$(3)$の式を見た人は、式変形に気づけないのも無理はありません。
でも、途中式を見るとそのような式変形もできるんだなぁと納得できると思います。
この$\:x^2+4xy+y^2=(x+y)^2+2xy\:$の変形は高校数学でよく使うので、このまま覚えてしまいましょう。
$(3)$は$(1)$と$(2)$の続きなので結果をそのまま使えます。そのため少し横着できました。
引き続き$\:(3)\:$に似た式変形をする問題にチャレンジ!!
問題7
$x=4-2\sqrt{3}\quad y=4+2\sqrt{3}\:$のとき
$x^2+y^2\:$の式の値を求めよ。
考え方
式変形せず直接代入しても良いですが、式を2乗するのはできれば避けたいところ。
そこで式変形。
問題6$(3)\:$の変形をヒントに考えましょう。
解答
$\begin{align}x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy\\&=(4-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3})^2-2(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})\\&=8^2-2(16-12)\\&=64-8=56\end{align}$
解説
$\:x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\:$も覚えておきたい式変形です。
$\:(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\:$は乗法公式だから覚えてますよね。
この右辺から$\:2xy\:$を引けば問題7の式ができます。
よって
$\:(x+y)^2-2xy=x^2+2xy+y^2-2xy\:$
$\:(x+y)^2-2xy=x^2+y^2$
となるわけです。
覚えておきたい式変形
$\:x^2+4xy+y^2=(x+y)^2+2xy\:$
$\:x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\:$