定数項を求めるために
二次方程式の定数項を求める問題の中でも、もっとも基本的な問題を扱います。必ず正答できるようにしておきたい問題の1つです。
問題
二次方程式 $x^2+2x+a=2$ の1つの解が3である時、$a$の値ともう1つの解を求めよ。
【考え方】
$a$は定数項です。（定数項については補足2参照）
二次方程式は基本的に解（$x$の値のこと）が2つあります。
この問題の場合、2つの解のうち1つが $x=3$ とわかっていて、残りのもう1つの解を求めたいということです。
ただ謎の文字 $a$ があるから二次方程式として解こうとしても解けない!! 困った。
$a$が無ければいいのに・・・。
ならば $a$ を無くしてしまえ!!
ということで
①$a$の値を求める
②求めた$a$を与式に代入し2次方程式を作る
③$x$の値を求める
の手順で解いていきます。
【解答】
$x^2+2x+a=0$ に $x=3$ を代入して、
$3^2+2\times3+a=0$
$9+6+a=0$
$a=0-9-6$
$a=-15$
ここまでが手順①
ここで$a=-15$を与式に代入すると、
$x^2+2x-15=0$ となり、この2次方程式を解く。
ここまでが手順②
$(x+5)(x-3)=0$
よって$x=-5 x=3$
$x=3$は既にわかっている解なので、
求める $a$ と $x$の値は
$a=-15 x=-5$
【補足1】
この問題では$a$を求めることが指示されていますが、その指示がなく単に$x$だけを求めさせるタイプの問題、つまり
『2次方程式 $x^2+2x+a=2$ の1つの解が3である時もう1つの解を求めよ』
というように出題される場合もあります。
（むしろこのタイプを自力で解けるようになっておきたい）
この時も考え方は上記と同じ。
【補足2】
このページのタイトルに定数項とありますが、本問の場合、定数項は$a$です。
定数項とは「ある一定の値を取り続ける項」のことを指します。
すると次のような疑問を持った人もいると思います。
『文字には好き勝手に数値を当てはめて良いと教わった! $a$にはいろんな数値が考えられるから定数項ではないだろ!!』と。
そう、その疑問はごもっともです。確かに文字$a$にはいろいろと数値を当てはめて考えることができます。
でも本問の場合、問題文に「二次方程式」と書いてあります。
そして「二次」を表しているのは$x^2$の部分だけです。
なので「二次方程式」との文言と、$x^2$の記載がそろった時点で、$x$に関する二次方程式と解釈します。
「$x$について数値を変化させて考える式で、その他の文字は一定の数値、つまり定数とみなして考えれば良い」
ということになります。
ということで、一定の数値となる$a$の値を求めてね、ということになります。
二次方程式を解くときは$x$以外の文字があると解けないから、
文字が$x$だけになるように準備しよう。