中1で座標平面について学んだ際、
横の長さを求めたければ$x$座標に注目
縦の長さを求めたければ$y$座標に注目
しました。
それでは斜めの長さを求めるには何に注目すれば良いか？
このページでは三平方の定理の座標への応用を解説します。
座標平面上での長さの表し方を再確認
座標平面上での長さを計算するときは、
座標の大きいほうから小さいほうを引いて求めました。
例えば、座標平面上に3点
$\begin{align}&A\:(-5,-1)\\&B\:(\:7,-3\:)\\&C\:(\;7\:,\:2\;)\end{align}$
があるとします。
このとき
$AB$の長さは横の長さのことなので、$x$座標に注目し
$7-(-5)=12\quad$
$BC$の長さは縦の長さのことなので、$y$座標に注目し
$2-(-3)=5\quad$と求めました。
座標の大きいほうから小さいほうを引いて長さを求めているのがわかりますね。
ところでこの「座標の大きいほうから小さいほうを引いて長さを求めている」を、日本語ではなく数学的に記号で表すと、
横の長さの場合
$(x_2-x_1)$
縦の長さの場合
$(y_2-y_1)$
といった形になります。この表し方をしっかり身につけてください。
この小さい$1$や$2$は、違う箇所にある点ということを意味しています。
違う点だとわかるように表記すればどう表しても良いので、教科書や参考書などによっては
$(x_a-x_b)$といった表記をしているかもしれませんが、意味は同じです。
座標平面上での斜めの長さ（2点間の距離）の求め方
改めて3点の座標を見てみます。
座標平面上なので
$AB\bot BC$です。
すると$\triangle ABC$は直角三角形になりますね。
ということは、
三平方の定理を使うと$AC$の長さが求まります。
$\begin{align}AC=&\sqrt{5^2+12^2}\\=&\sqrt{25+144}\\=&\sqrt{169}=13\end{align}$
このように
座標平面上で直角三角形を考え、横と縦の長さを求めることで斜めの長さ（2点間の距離）を求めることができます。
横と縦の長さの求め方は上記で説明した通り
横$(x_2-x_1)$
縦$(y_2-y_1)$
そして斜めの長さは三平方の定理から求まる。
これらのことを数学的に記号で表すと、
斜めの長さ（2点間の距離）は
$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
として求められます。
なお、距離とは、2点をまっすぐな線分で結んだときの長さのことをいいます。
例えば点$A$から$B$まで線を引くとき、くねくねした引き方や、角ばった引き方、円を描くような引き方など、方法は無限にあります。
でも「距離」といったら線分$AB$、つまり最短のものに限られます。
よしお君とよしこさんの距離といったら、たいていまっすぐな線の長さを考えますよね。
そう考えないとよしお君とよしこさんがどんな感じなのか見えてきません。
数学も同じです。
座標平面上での斜めの長さ（2点間の距離）は
$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
ルートの中に（かっこ）、さらに2乗があっての文字式だけに、初見には強烈以外の何物でもないでしょう。
ただここまでの内容を読んでいれば、実は三平方の定理を表しているだけの単純な式だということも理解できるはずです。
それでは2点間の距離を求める練習をしましょう。
基本例題1
次の2点間の距離を求めよ。
$(1)\:A(4,3)\quad B(7,6)$
$(2)\:C(-8,-8)\quad D(-5,4)$
$(3)\:E(-6,1)\quad F(6,-4)$
考え方
$AB,CD,EF\:$をそれぞれ斜辺とする直角三角形を考え、横と縦の長さを求めます。
横と縦の長さがわかれば、あとは三平方の定理を使うだけです。
解答
$(1)\:$横の長さ：$7-4=3$
$\quad\;\:$縦の長さ：$6-3=3$
$\quad AB=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$
←$B$の座標から$A$の座標を引いて長さを求める
$(2)\:$横の長さ：$-5-(-8)=3$
$\quad\;\:$縦の長さ：$-4-(-8)=4$
$\quad CD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
←$D$の座標から$C$の座標を引いて長さを求める
$(3)\:$横の長さ：$6-(-6)=12$
$\quad\;\:$縦の長さ：$-4-1=-5$
$\quad EF=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$
←$F$の座標から$E$の座標を引いて長さを求める
←長さを考えているので絶対値が分かれば良い
解説
例えば$(1)\:$で横の長さを求めるとき、$B$の$x$座標から$A$の$x$座標を引きました。
そのため、縦の長さを求めるときも、$B$の$y$座標から$A$の$y$座標を引いて求めます。
もちろん$A$の$x$座標から$B$の$x$座標を引いて横の長さを求めても構いません。
ただその場合、縦の長さを求めるときも$A$の$y$座標から$B$の$y$座標を引いて求めます。
横の長さ$4-7=-3$
縦の長さ$3-6=-3$ （長さなので絶対値が分れば良い。）
$x$座標は$B-A$の順にしたけど$y$座標は$A-B$というように引く順を変えることはせず、$x$座標も$y$座標も同じ順で引くようにしましょう。